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傅立叶变换和卷积的物理意义

2010-03-30
傅立叶变换,卷积,物理意义
傅里叶变换的目的就是将时间域里面的合奏分解为频率域里面一个个独奏的叠加,然后你就可以去挑了。

Junyi 2009/2/27

傅立叶变换和卷积的物理意义

这里没有数学公式,倒不是像费曼那样高风亮节,而是这里输入公式太烦,不然...

突然说这个话题是因为在水房洗衣的时候,一数学系正在刮胡子的哥们突然问我傅立叶变换的物理意义是什么?当时我就死机了,不知怎么答。

傅立叶变换伴随了我四年,从数学分析课上学会计算,然后光学中的夫朗和费衍射,接着信号处理,然后是SRTP中的数字全息都和这个息息相关,可是,课堂上强调的是会算,会用就行了,而对其物理意义,书上语焉不详,老师只字未提。

傅立叶变换的产生,是一个叫约瑟夫.傅立叶的法国人《热的分析理论》中作为一个数学工具而引入的,所以它的发展一直在其工具出身的阴影下,对于其意义不同学科有不同版本的阐释,但更多的是作为一个计算工具辅助计算,所以要我说其有什么物理意义,一时间真的不知怎么回答。

于是我只好举个例子,傅立叶变换在光学上的物理意义。

我们都知道,会聚透镜(简单地说,就是普通的凸透镜啦)除了具有成像性质外,最有用的就是它还具有进行二维傅 立叶变换的本领。由物理光学可知,在单位振幅的平面光波垂直照明下 的夫朗和费衍射,恰好实现衍射屏透过率函数的傅立叶变换。

即一束光通过凸透镜在焦平面上采集到的图像即为这束光的频率空间信息,亦即数学上对这束光进行一次傅立叶变换后的结果。

所以傅立叶变换在这里的物理意义就是将光的空间分布转换为频率分布(相空间),在靠近原点的部分为图像低频部分,远离原点部分为图像高频部分。

这时那哥们就问:那么变换后高频部分对应图像的哪一部分呢?因为有个老师讲课时说,原来原点部分对应变换后距原点无穷远处,而原来的无穷远处则对应变换后的原点。(我突然想起了倒易空间,联想到这个没什么道理)

直觉上我觉得这样说是错误的,因为傅立叶变换并非一一对应的,频率空间上任何一处,哪怕只有一点都与原来的整幅图像有关,也就是说,这是非局域性的。

举个例子,全息图,任取全息图的一部分还原(做一次逆傅立叶变换)成的图像都是原来的整幅图像,但由于高频信息的缺失所以还原图像比原图像要模糊。

而频率空间体现的是什么呢?是原图像的变化程度。举个最简单的例子,一束平行光经过凸透镜后在焦平面(即频率空间)上会聚为一点,在数学上就是平面波函数经过傅立叶变换后得到一个常量(信号处理上又称为直流量),意思是原来的图像(平面波)没有“起伏”(即光强变化,因为是平行光),所以在原点(低频)处有一点强光,数学上是冲击函数,这样搞过信号的人大概会共鸣了吧。

没错!信号书上经典例题,对阶跃函数和冲击函数通过傅立叶变换在物理光学上的对应就是平行光通过凸透镜。

这就是傅立叶变换在光学上的物理意义,至于傅立叶变换在量子力学上的意义...不写公式光靠文字描述的话我讲不清楚。

还有就是卷积了,我只能说,它的图像意义便是两个函数随着自变量的变化不断重叠的面积的叠加,至于其物理意义我就说不清了,因为我接触卷积以来,它都只是计算工具,拉普拉斯变换啊之类的用于计算两个函数叠加的工具,变换之后又做逆变换,然后很方便地得出正确结果。

我知道这肯定是不足的,除了知道怎么算(这是基础!),然后知道图像意义,可是卷积肯定有对应的物理意义。工科老师上课时只是把这个当成一个工具,能用就行,可是这对学物理的我来说,对why有一种近似着魔的obsession,就像Nolan的《The Prestige》里面对决的两个魔术师一样...

P.S.Google卷积的物理意义得到的多数是定义,数学表达,图像意义,或者干脆给个例题:一个系统,其单位冲激响应为h(t),当输入信号为f(t)时,该系统的输出为y(t)。y(t)是f(t)和h(t)的卷积。

这些都不是其物理意义,最好给一个物理过程对应卷积的计算过程。
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