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数学的常数美

2010-02-01
数学常数,数学的常数美
数学的常数美

作者:gzsx017
数学的常数美

  上帝创造了整数,其他一切都是人造的(L.Kronecker).数学中的某些常数,有着特殊魅力(因而也蕴含着美感),比如黄金数0.618…、斐波那契数、圆周率π自然对数的底e、欧拉常数c、混沌数4.669201609…、物理中的大数、……它们不仅自身有着美妙的性质,还常常出现在自然界中.比如物理中的“大数”(大物理学家狄拉克的称谓):万有引力耦合常数Gm2/hc~5×10-39;原子中质子与电子间静电力和万有引力之比为:ke2/Gmpme~2×1039;宇宙中的质子数,即宇宙可见部分质量与质子质量之比为:M/mp~1078;以原子单位,变量宇宙年龄的线性表示:mec2T/h~1039;…在这些大数中,1039这个数有什么意义呢?狄拉克认为这绝非偶然的巧合,它在一定程度上揭示了宇(宏)观世界和微观世界的联系,且提出“大数猜想”:引力常数与宇宙年龄成反比.这种自然界告知我们的美妙信息(以数的形式告知),也许是宇宙永恒美的特征,它也奠定了粒子物理中大统一的理论基础.

  数学中的这些常数,有着深邃的内涵,比如黄金数0.618…我们在前面已经阐述(除了它自身的有趣性质外,它在艺术美学中还有着特殊地位,在生物结构上有着奇妙的体现,后文还将看到它与其他一些著名常数的联系),下面看看其他常数.

  圆周率(圆的周长与直径的比值)是一个重要数值,但它是一个无限不循环小数(无理数或超越数),因而只能求它的近似值.计算它是十分麻烦的,特别是在电子计算机问世之前.阿基米德是看出其困难在于定义的第一个人,且他利用割圆术证明它的值界于22/3和223/71之间.我国古代数学家在计算圆周率方面曾做出过领先于世界的贡献.东汉初年的数学书《周髀算经》中,已有“周三径一”的记载,这是最早的圆周率叫“古率”.尔后南北朝的祖冲之在《缀术》一书中用刘徽割圆法给出22/7和355/113两个用分数表示的圆周率.它们分别被称为“约率”和“密率”(它们分别精确到小数点后第三和第六位),这比国外同类结果要早一千年.欧拉是首先倡导用希文π表示圆周率的.1761年Lambert证明“π不是有理数”,他是将π展成一个不循环连分数而证明这个结论的.勒让德也证明了“π不是有理系数二次方程的根”.1882年德国数学家林德曼证明:π是超越数(也因而证明了尺规作图中的化圆为方问题不可能作出).关于π的计算,叶维塔用割圆法算至圆内接(外切)393216边形,得到π的十位小数.荷兰数学家鲁道夫花了毕生精力算得π的第35位小数(十六世纪,且此数称为鲁道夫数).计算π的数值,也许并不需要那么多位,美国天文学家S.Newcomb说:π的十位小数就是以使计算地球周界(如果把地球想象为绝对的球)精确到一英寸之内,若用π的三十位小数能使可见宇宙的四周计算精确到连最强大的显微镜也不可能分辨的一个数量级.尽管如此,人们还是在计算π的数位上进行角逐(这是π本身的美感而使得人们对它的偏爱,表面上看来这种计算似无意义,实际上则不然)——一特别是电子计算机出现之后.下面表格中的数据恰好说明这一点.如今计算π的位数,已成为检验计算机性能的一种手段.计算π的这么多数位的另一个目的是:人们期待从这些数字中寻觅某些奥秘,比如我们后面提到的它与数e的表达式中出现相同数字的规律.再如人们希望弄清在π的展式中,数字0、1、…、9出现的几(概)率是否相同?……等等.人们在研究后发现了一些使人感到奇妙的数字现象.(π是超越数,也是无理数即无限不循环小数),比如:π计算到小数点后第710100位时,它连续地出现七个数字3即:3.141……353733333338638……又如π的前两位数字31、前六位数字314159组成的数是两个回文质数(即它们的逆序仍为质数).再如π的小数点后前几位数字和恰好是完全数:此外再注意6=1+2+3,28=1+2+3+4+5+6+7,即π的小数点后的一位、三位、七位数字和也恰好分别是前一个、三个、七个自然数之和.W.Haken猜想:π的前n位数字组成的数不是完全平方数(他估计这个猜测成立的可能性0.999999999).它也是一个十分重要的常数,有人发现e和π第13、17、18、21、34上数字相同:且有人猜测:π和e的数字每隔十位数将有一次重合(这一点尚未被证实).此外,渥太华大学的生物化学家R.G.Duggleby发现:π^4+π^5=e^6,注意到π^4+π^5=97.40909…+306.01968…=403.42877…,而e^6=403.42879….e也是一个超越数,同时人们已经证明ek是超越数.但有趣的是:πe、πe、π+e是否是超越数?这一点人们至今也不清楚.G.Shombert猜想(他依据了π和e的展开式数字,从和谐和美的角度似乎应该有):π的数字中必有e的前n位数字;同时e的数字中必有π的前n位数字.e与π的奇妙联系,我们可否从e^iπ+l=0中得到解释?π还有许多有趣的性质,比如:用数字0、1、2、…、8、9组成的分式中,有不少可作为π的近似值,当然,其中97468/31025=3.1415954875……已精确到小数点后第五位.我们把数表各行、各列数字之和分别记在表的上面和右面,你会发现:行和与列和分别是五个同样的数.欧拉常数也是数学中的一个重要常数,它也蕴含着神奇美.

  除了上面介绍的一些常数外,数学中(不仅数学,在物理、化学中也有所谓万有引力常数、阿佛加德罗常数等)还有许多常数,比如可用来计算自然数k次方幂和的伯奴利数,再如贝尔数(已介绍)、斯特林数、……菲根鲍姆(M.Feigenbaum)常数是新近发现的、且在学术界认为是一个普适常数,这个常数与所谓“混沌现象”有关.

  这种规律中有混沌、混沌中含规律的数学现象,也许能有助于揭示神经细胞的简单反应和令人捉摸不透的大脑行为,甚至人们期待着用它去揭示宇宙的奥秘.

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