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混沌中的数学

2010-03-01
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混沌中的数学
向这位文章的作者表示本站的敬意,我在这个文章中得到很多帮助。原谅由于原文没有作者名字,我们也无法提供。

混沌中的数学
马克思曾经说过,一门学科,只有当它能够成功运用数学的时候,才有可能成为一门真正的科学。的确,数学总是以其简洁性,明确性走在所有科学的前列,任何学科都把能否能够成功运用数学作为自身是否成熟的标志。
然而,混沌的世界却不象以往的数学那么单纯。
在混沌的世界中,今天并不能预测明天,如果我们以简单的线性模式去理解世界,最终一定会被碰得头破血流。
股票市场充斥着无数的交易者,他们是各行各业的精英,整体上看,无论是处世能力,专业学历,还是智商情商,都显然要高于任何其他行业。但是,就是在这样的一个市场,却天天在上演着悲剧:每十个交易者当中,有九个处于亏损状态。
我想,交易者中一定有亏损累累的数学博士。

作为职业的交易员,除了算数比较快以外,我并不精通数学,甚至不懂高等数学(当年在大学学的内容,已经基本上还给老师了),但是这些并不妨碍我交易获利,保持良好的交易成绩。
混沌理论告诉我们:思维的方式要远比计算的方式重要。

本文主要阐述的是混沌理论中的数学部分,不需要高深的数学知识,或者说,我希望交易者能够理解的并不是数学公式,而是公式本身带给我们的启发。
本文同时是《混沌的启示》和《混沌理论在中国证券市场的应用》的姐妹篇。我试图通过这三篇文章,系统地解释混沌理论和混沌理论在中国证券市场的运用。
鉴于我对混沌理论的粗浅认识和理解,有不当之处,尚请读者多加批评指正。希望能够抛砖引玉,共同促进混沌理论在中国证券市场的推广和应用。

一:迭代


在中学课本中我们学过,一个一元函数,通常可以表示为:
Y=f(x)
这里X是自变量,Y是因变量。例如:
Y=3X+1,
如果X=1,那么Y=4;如果X=4,那么Y=13;总之,如果X被确定,那么相应的Y也被确定。
我们用一个抽象的符号F,来表示Y遵循X变化的因果关系。废话连篇的解释是:数字Y随数字X的变化而变化,Y由X来决定,决定的依据是“关系”F。

如果我们利用某个关系函数,比如Y=F(X),代入一个X算出一个Y,又将Y作为新的X再次计算下一个Y………如此不断,这种方法在数学上称为迭代,具体的表达式是:
Xn =F(X n-1 ),n=1,2,3……..
通常,数学家们只研究[0,1]区间到[0,1]区间-------不仅Xn-1在[0,1]区间,而且Xn也在[0,1]区间-------的迭代,因为任何[a,b]区间到[a,b]区间的迭代,都可以通过“变量转换”-------将X’=(x-a)/(b-a)看成是迭代变量------转换成[0,1]区间到[0,1]区间的迭代。
[0,1]区间之所以受到非常重视,是因为[0,1]区间的每一个数字都具有“占有多少的份额”的直观意义,比如0.3,就是30%。

看一个具体的迭代例子:Xn=Axn-1(1-Xn-1),其中A是常数。这是一个生态学的有关公式,表达的是某个物种的规模变化规律。
如果我们假设A=1.5,X是一个小于1的数字,比如0.1,那末数次迭代的数据是:
迭代次数 Xn-1 Xn
1 0.1 0.135
2 0.135 0.175
3 0.175 0.217
4 0.217 0.225
5 0.225 0.285
6 0.285 0.305
7 0.305 0.318
8 0.318 0.325
…………………………….
……………………………..
20 0.333 0.333
可以看到,大约经过20次迭代以后,Xn稳定在1/3左右。

在证券市场,几乎每个人都知道费波那齐数列(Fibonacci Series),其实这也是一个经过迭代而产生的数列,不过稍微有些复杂,其表达式是:
Xn+2=Xn+Xn+1 ,n=2,3;
整个数列是:2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…………..即每一个数字为前面两个数字的和。
费波那齐数列有一个特性,那就是:如果我们把费波那齐数列中的每一个数字和随后的数字相比,就会得到一系列越来越接近无理数0.618………….的数字。比如:
2/3=0.66666…..
3/5=0.6
5/8=0.625
8/13=0.6154
…………….
55/89=0.61798
89/144=0.61805
……………….
因此,我们也可以称费波那齐数列为一个等比数列,这个等比数列的公比q无限趋近于无理数0.618………….数学上称公比q向0.618……收敛--------当费波那齐数列中相比的数字逐步增大的时候,公比q一大一小地,向0.618………无限接近。
0.618…..,又称为黄金数字。据说,任何物体形状如何符合这个数字比例,会给人以美感和舒适感。这个数字还有其他一些特点,比如:1/0.618=1.618;0.618*0.618=0.382=1-0.618等等;在《混沌理论在中国证券市场的应用》一文中,我们会再次提到它。

在数学上,一个迭代的公式被看做是一个动力系统,点由于迭代而产生的变化和发展情况是动力系统研究的对象。同样,股票价格运动也是一个动力系统,其动力源泉是交易行为,或者说成交量,因此我们说,趋势(价格运动)是由一系列的交易迭代而形成的------在不同价格上的不同的成交量,就是数学中迭代的点,而价格运动本身就是迭代的结果。
事实上,在股票市场中,并没有严格意义上的数学迭代,或者说,没有数学意义上那么公式化的迭代,但是毫无疑问,今天所有的交易,都会被计算到以前所有的交易中,推动今后的价格的发展变化-------也就是说,被迭代了,只是在某一个周期,趋势可能符合某一个迭代公式,而在其他周期时,则符合其他的迭代公式。
作为非理论研究者,或许我们没有必要去寻找所谓的证券迭代通项公式,但是知道其数学原理却是应该的。

在《混沌的启示》中我们说过,证券市场是一个混沌的市场,想找出证券市场的迭代通项公式,绝非一件易事,如果有幸能够找到其中一个、两个,已经是非常难得了,何况,也许这个所谓的通项公式根本就不存在呢!

二:周期


把一个X放到F(X)中迭代,得到一个新的X’=F(X),一般地说,X和X’是不会相同的。但是有时候会有这样的情况,一个X迭代以后,得到的X’,和原来的X是相等的,就是说,X经过迭代以后,并没有变化,新的X’=X,还在原来的位置,这样的X叫做迭代函数F(X)的不动点。
随便想一想就知道:有些迭代函数有不动点,而有些则没有。
但是,[0,1]区间到[0,1]区间的迭代一定有不动点(这一点可以通过微积分中的介值定理证明,由于不动点并非本节重点,因此这里不做证明过程)。

如果从X0开始按照公式Xn=F(Xn-1)迭代,迭代K次以后就回到原来的地方X0,但是迭代次数小于K时都不能回到X0,那么,X0就叫做函数F(X)的周期点,K就是函数F(X)的周期。
我们以周期3为例做详细解释。
Xn=F(Xn-1)是[0,1]区间到[0,1]区间的迭代。假如X0是这个迭代的3周期点,那么,X1=F(X0)≠X0,X2=F(X1)≠X1≠X0,而X3=F(X2)=X0,把这些点画在图中,可以看到:
X0经过一次迭代到X1,X1经过一次迭代到X2,X2经过一次迭代又回到X0,就是说,X0经过三次迭代,又回到原来的地方。
就是因为X0经过三次迭代回到原位,所以X0叫3周期点。
很显然,我们还能够注意到,X1也是3周期点,因为X1同样可以经过三次迭代后回来,同样,X2也是3周期点。所以,周期3的函数,至少有3个3周期点。
现在你明白了,所谓的不动点,实际上就是1周期点。

如果你是一名证券交易参与者,我不知道上面的文章会给你什么启示,对于我来说,产生了如下的感想:
既然价格趋势由迭代产生,那么必然会产生周期,尽管周期可能非常难以琢磨和寻找,但是它的确是存在的,这一点,从那些运用周期理论的交易专家身上或许会得到更多的启发-------他们根本不关注价格变化而是仅仅关注价格周期和时间周期,并因此而取得令人敬佩的交易成绩。
当然,我相信不是每一个使用周期的交易者都是专家,也不是每一个周期交易专家都懂得其中的数学原理-------证券市场的一个特点是:理论不能说明什么,获利才是硬道理。但是有些人号称能够将周期理论做改进,捕捉到市场每天的高低点,每天获利N%,就真的有些哗众取宠,胡说八道了。

可能很多交易者仅仅听说过时间周期,没有听说过价格周期,其实很简单,既然有横向的时间周期,那么就必然有纵向的价格周期,从某个角度讲,价格周期可以理解为在某一时间段内价格的运动范围,但是并不完全相同。
由于周期本身相当虚幻和深奥,这里不做深入探讨,我们会在《杠杆操作法中级------稳定获利》中继续讨论。

三:沙可夫斯基定理和周期倍增分叉现象


苏联数学家沙可夫斯基将所有的自然数按照如下的次序做了排列:
3,5,7,9,11,13,15,17,……………..;
3x2,5x2,7x2,9x2,11x2…………….;
3x22,5x22,7x22,9x22,11x22…………..;
3x23,5x23,7x23,9x23,11x23…………….;
…………………………………
………….26,25,24,23,22,21,20。
这个次序现在被称为沙可夫斯基次序。
对于连续的区间迭代,沙可夫斯基证明了:假设M在沙可夫斯基次序中,排在N的前面,那么,如果有M周期点的话,就一定有N周期点。
这就是沙可夫斯基定理。
根据沙可夫斯基定理我们可以知道,如果一个函数有3周期,由于3在沙可夫斯基次序中处于最前面,那么这个函数就会有任意自然数的周期。

周期倍增分叉现象:
在函数Xn=AXn-1(1-Xn-1),n=1,2,3………….
当中,随着参数A的增大,先是只有周期1的稳定解;当A增大到A1时,周期1的稳定解分叉为2个周期2的稳定解;当A增大到A2时,2个周期2的稳定解又分叉为4个周期4的稳定解…………当A增大到Am时,周期2m-1的稳定解又分叉为2m个周期2m的稳定解…………如此继续。

沙可夫斯基定理和周期倍增分叉现象,在实际的证券交易中也许并没有什么意义,这里着墨,主要是为了介绍“数学对混沌的定义”和菲根鲍姆普适常数。

四:数学对混沌的定义


1975年,华裔数学家李天岩和他的导师在《美国数学月刊》中发表了一篇论文,题目是《Period Three Implies Chaos》-------《周期3意味着混沌》,用数学的方法解释了“混沌(Chaos)”,并且第一次使用了Chaos这个词。
李天岩在论文《Period Three Implies Chaos》中,不仅再次证明了沙可夫斯基定理中“有周期3,就有任意自然数周期”的特例(在此之前,李天岩或许并不知道沙可夫斯基定理,因为沙可夫斯基本人并没有什么名气,也许可以这么说,沙可夫斯基反而是因为李天岩才名扬四海的),而且明确地刻画了“混沌(Chaos)”的数学含义:
设函数F(X)是[0,1]区间到[0,1]区间的连续迭代函数。如果F(X)有如 下性质,就说它有混沌现象:
(1) F(X)的周期无上限;
(2) 在区间[0,1]中有一个不可数的子集S,使得:
① 对于S中任意不同的两点X0和Y0,考虑迭代序列Xn=F(Xn-1)和 Yn=F(Yn-1),n=1,2,3………,当n趋于无穷大的时候,它们之间的距离|Xn-Yn|的上极限大于0,下极限等于0;
② 对于X0是S中的一个任意点而Y0是迭代的任意一个周期点,考虑迭代序列Xn=F(Xn)和Yn=F(Yn),n=1,2,3………,当n趋于无穷大时,它们之间的距离|Xn-Yn|的上极限大于0。

对于非数学专业的交易者来说,恐怕会被混沌的数学定义搞得晕头转向,说实话,我也是稀里糊涂的。向前数大约1200字,是我请了9个搞数学的朋友,喝了7次茶才写出来的,不过,这7茶可没有白喝,我虽然没有明白数学对混沌定义的深刻含义,但是我明白了一个非常简单的道理,那就是:
周期3导致了混沌。

如果你想使用一种工具,或者建立一个系统,那么,首先就是要了解这种工具或系统的原理和特性,这是必须的一步。这一步没有坚实的基础,以后所有的都是空中楼阁。
我们在《混沌的启示》一文中,初步介绍了证券市场的结构------分形------一个由五支K线组成的形态,表示市场趋势受到了压力或支持。一个分形实际上,在形成以后,最重要的是3支K线,即后面的3支K线。以向上分形为例,在趋势向上的过程的高点以后,如果仅出现一支K线没有新高,并不能说明什么,市场可能是停顿,也可能是继续前进,但是一旦连续两个周期没有出现新高点,和有高点的那一周期,就形成了一个3周期的结构。这个3周期所形成的结构,就可以理解为周期3-------一个导致混沌的数字。
当然,周期3未必就一定导致混沌,因此,我们也把分形分成各种不同类型,比如坚定的分形、犹豫的分形和等待的分形。
另外一个非常重要的观点是:没有分形同样是一种结构------趋势运动有秩序的结构------这个结构简单流畅,是导致我们获利结构,是我们喜欢的结构。

事实证明,无论在中国市场,还是外国市场,分形,或者说周期3,都一种有效的结构、一个有与其他数字有本质区别的数字,至少表现在:
1、 周期3导致混沌;
2、 周期3是第一个可能导致混沌的周期;
3、 有周期3,就有任意周期;
4、 分形涵盖了所有的市场趋势反转;
5、 在没有出现分形的时候,市场趋势不可能反转,只可能延续;
6、 两个逆向分形所形成的杠杆,和分形的周期3有“自我相似”,以最简洁的方式体现出价格趋势的自组织系统及其运动方式;
7、 周期3最具有实战价值。
这些将在《混沌理论在中国证券市场的应用》、《杠杆操作法初级:告别亏
损》中做详细的介绍。

按照拉瑞-威廉的“环形”概念,同样可以得出周期3的结论,但是我认为,环形的变化过于复杂,而且没有分形稳定:在大多数时候,会导致交易者过量交易(Over Trade)。
目前国内证券市场的波动相对安稳,并不剧烈,而且交易费用也不理想,频繁交易不是一种好的选择。

五:菲根鲍姆普适常数


在混沌理论中,菲根鲍姆常数也是一个重要内容。
美国康奈尔大学的物理学家菲根鲍姆(Feigenbaum),发现了被誉为“本世纪最伟大”的发现??------在周期倍增分叉现象中更深层次的规律-----从而揭示出系统从有秩序转向混沌的秘密。
菲根鲍姆发现:在周期倍增分叉过程中,随着分叉次数M的增加,相邻的两个分叉点λm和λm+1的间距Δm=λm+1-λm组成一个渐进的等比数列,分叉宽度ξm也组成一个渐进的等比数列,并且这两个等比数列都有极限。菲根鲍姆测出了这两个等比数列的公比,它们的倒数分别叫做菲根鲍姆常数δ和菲根鲍姆常数α,它们分别是:δ=4.669201……..,α=2.50290…………。
据菲根鲍姆自己说,周期倍增分叉现象和规律的发现,大大地改变了人类对宇宙的认识。

一个系统是否稳定,对我们是一个非常非常重要的问题。
简单的说,如果现在的情况差别不大,随着系统的运行,将来的差别也不大,那么就说系统是稳定的,否则就是不稳定的。但是,稳定和不稳定之间,并没有不可逾越的鸿沟。
菲根鲍姆告诉我们,通向混沌之路,并非是混沌的,而且,这些路是可能探索的。
前面我们说过,在证券市场中,每一个趋势都是一个自组织系统,理解成复杂的数学迭代也未尝不可。作为理论研究者,也许会去试图寻找其中的“菲根鲍姆常数”,但是作为交易者,则需要的是对理论的深刻理解,然后用来指导实践,并以此获利。

混沌理论中的数学,内容要远比我写的多得多。这里做的基础介绍,对于数学专业的交易者来说太浅,对于非数学专业的交易者,可能又太深,不过我能说的,也只有这么多了。
在证券市场,对于交易者来说,我觉得重要的不是知识本身,而是对知识的思考、理解和应用。
市场上有许多“高手”, 狭隘地执着于技术分析或基础分析,更有甚者,执着于狂妄的幻想,可以在某些时刻,甚至是某些时间,在市场中获利。可是,这并非是长久之计。
唐能通(幻想形)就是个很好的例子。当市场处于强大的牛市的时候,无论怎么买都是对的:涨可以追涨,跌可以摊低成本。于是当熊市来临的时候,他失踪了。
作为中国股民,在一个仅仅十年的市场中,我们经历了太多的沧桑(或许美国人也同样如此):我们还需要学习很多,我们还需要理解很多,我们还需要辨别很多。
愿真理与我们同在。
《混沌中的数学》全文完
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本栏目主要介绍科学技术方面,包括现代科学研究成果、现代科技、现代科学技术、混沌中的数学等。特别关注有关人与文化的价值方面的研究。

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