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论现代逻辑

2010-09-08
论现代逻辑

朱水林
  现代逻样是用形式化的方法研究思维的形式结构及其规律的学科。形式化是指用一套表意符号去表示概念、判断、推理,获得它们的形式及结构,从而把对概念、判断、推理的研究转化为对形式的符号系统的研究。本文论述了现代逻辑的内涵、外延、特征及其发展趋势。

  一

  现代逻辑是传统逻辑发展的最新阶段,是用形式化的方法研究思维的形式结构及其规律的学科。

  美国逻辑学家布卢姆贝格(A " E " Blumberg)在〔美〕《哲学百科全书》(1967)现代逻辑词条中说二“现代逻辑也称符号逻辑或数理逻辑。它是亚里士多德所创立的逻辑学发展到最新阶一段的成果。”“现代逻辑在其考察的形式的范围方面及其从事研究的严密性方面,都远远超过了从前的逻辑。”‘现代逻辑不光是形式的,而且是形式化的。它的基础分支可以看成是一个形式系统”。我国北大逻辑学教授王宪钧在《数理逻辑引论》(1982)中说:“数理逻辑的逻辑方面是现代形式逻辑、’“广义的数理逻辑也称为符号逻辑”,“包括一切用特制符号和数学方法来研究处理演绎方法的理论”。

  现代逻辑使用了形式化的方法,因此搞清楚形式化的含义,对把握现代逻辑的内涵就显得十分重要。所谓形式化,德国大数学家希尔伯特于1926年曾说:“数学思维的对象就是符号本身,符号就是本质,’它们并不代表理想的物理对象,公式可蕴涵直观的有意义的叙述,但是这些涵_义并不属于数学”。他主张逻辑必须和数学同时加以研究。

  分析哲学的代表人物R·卡尔纳普曾对形式的理论作过这样的说明:“我们将把完全不提及意义或涵义的、关于语言表达式的说法或断定称为‘形式的’,关于某个句子的形式的研究并不涉及句子的意义或这些单词的涵义,而仅涉及词的种类和它们一个连着一个的次序。”

  波兰著名逻辑学家塔尔斯基在《逻辑与演绎科学方法论导论》(1946)中说:“在构造一种演绎理论时,我们忽略公理的意义,而只考虑它们的形式。由于这种原因,当人们谈起这些现象时,人们就谈到演绎科学和这些科学中的推理的纯粹形式的特性”。塔尔斯基还指出:“如果在构造一种理论时,我们在做法上宛如不了解这一学科的词项的意义,这不等于否认这些词项有意义。”并且断言“一种不可能给以任何解释的形式系统是没有人对它感兴趣的。”可见形式化大体是指用一套特制的表意符号(其意义可以解释的),去表示概念、判断、推理,获得它们的形式及结构,从而把对概念、判断、推理的研究,转化为对形式的符号表达式系统的研究。这里概念、判断、推理的形式即概念形式(包括个体表达式、谓词表达式、量词符号等),命题形式,推理论证形式。

  现代逻辑的本质确定了它有某些特征,诸如高度的抽象性、严密的精确性、广泛的应用性等。抽象性在逻辑学形成的初期就显示了,用符号去代表内容,从具体推理中概括出推理模式,这些已经是抽象。把公理体系处理成形式系统,达到了高度的抽象。抽象是一种取舍,是从事物中抽取出相对独立的方面、属性等。如从普通联结词到真值联结词,从具体命题、推理到命题形式、推理形式。这样可以排除自然语言表达式的歧义性,把逻辑推导转化为演算。从而有可能使用现代电子计算机,达到严密的精确性。逻辑学的抽象性、精确性也带来应用方面的广泛性。我们可以说,在日常生活中,在生产中几乎每时每刻都在使用逻辑。而且还可以说,几乎在所有科学部门都使用逻辑。尽管现代逻辑的特征表现为多方面,但是其主要特征还是形式化,因为形式化规定和影响着其它特征的存在和发展。形式化不仅是现代逻辑形成过程中的一条主线,而且也是现代逻辑取得带有根本性意义的重大成果的前提。



  逻辑史和数学史表明,逻辑向形式科学发展的历史和数学的公理化、形式化进程几乎是并肩推进的。数学的公理化、形式化大量借助了逻辑科学已取得的成果,同时又以自己的丰硕成果哺育逻辑学的形式化。两者相辅相成,交织共生。它们大体上都在十九世纪末、二十世纪初达到完成。

  逻辑学向形式科学发展的历史,还得从亚里士多德说起。他第一个系统地、全面地研究了人类的逻辑思维。他对概念、判断、推理以及基本思维规律的系统研究和阐述,几乎构成了传统逻辑学的所有组成部分。就近代科学发展的眼光来看,它也显示了局限性,限于主宾式语句,限于三段论,对量词未作研究,研究对象范围过窄,使用日常语言表达,内容显得零碎。故随着近代科学的发展,突破传统逻辑的局限,产生现代逻辑是必然的。

  莱布尼茨(Laibniz1646-1716)是第一个顺应这种发展需要的科学家。在他以前数学家笛卡尔和哲学家霍布斯曾提出过“普遍数学”的构思,莱布尼茨青年时期就一心想使逻辑普遍化,他认为逻辑学有可能与数学相匹配,他有一个庞大计划,想建立一种“通用语言”,并利用它来进行推理。在20岁以前发表的《论组合术》中,就提出了改革逻辑的设想。要设计一套通用语言,以消除现存语言的局限性、不规则性。再创造一套通用演算,规定变换规则,使逻辑推演按确定方法进行。现在看来,莱布尼茨自己并没有完成这项工作,不过其愿望却为后来的逻辑学家部分地实现了。为此人们还是把莱布尼茨看成是现代逻辑的首创者。

  经过近二百年的发展,英国数学家布尔和德摩根、施罗德等实现了莱布尼茨的宿愿。布尔不仅与莱布尼茨一样看到了用数学表示逻辑的可能,设想把逻辑中的合取和析取用数值的乘法和加法表示。而且凭借他在数学方面的卓越才能,成功地创建了一个能当作逻辑演算的代数系统,从而基本上完成了把逻辑转化为演算的工作。著名逻辑史专家波亨斯基对此作了高度评价:“我们能够在布尔的划时代的著作《逻辑的数学分析》中,找到一种示范形式展开的清晰表达,这方面它是优于许多后人著作的,其中包括罗素的《数学原理》”。

  到十九世纪末,德国数学家弗雷格(G·Frege1848-1925)完备地发展了现代意义下的命题演算,引进了量词和约束变元,也几乎完备地发展了谓词演算。命题逻辑和谓词逻辑杯是逻辑学的基础部分,在研究考察问题时,前者以命题为基本形式,把命题只分解到其中所含的简单命题;后者不以命题为基本形式,它还要把命题分析为主词、谓词、量词等,然后再研究它们的推理关系。把命题逻辑和谓词逻辑建成公理系统,实行完全的形式化,就得到了命题演算和谓词演算。弗雷格构造逻辑体系的思想新颖独特,与前人创立的非逻辑科学(如几何学等)的公理系统不一样,把逻辑学本身建成为一个公理系统。这为实现逻辑学的形式化,跨出了一大步。

  发展到本世纪初罗素时期,逻辑学才基本上完成了命题演算和谓词演算的建立工作。罗素是英国现代著名的哲学家和逻辑学家。他基本上总结了在他之前有关数学基础和逻辑两方面的工作,和怀特海一齐撰写了《数学原理》三大卷。他们作出了许多创造性的贡献,极大地推动了现代逻辑的发展。可以这样说,他集现代符号逻辑的大成,是符号逻辑的金字塔。

  正是由于把逻辑学建立成了演算,建立成为形式系统,才有可能对逻辑进行整体的研究。于是用形式语言表述的逻辑演算系统性能的优劣和功能的强弱的问题,即可靠性、完备性等元理论的研究提到了议事日程上来了。正是在这种逻辑学取得高度形式化的背景条件下,1929年哥德尔在他的博士论文中证明了谓词演算的完备性定理。完成了现代逻辑基干部分的建筑。哥德尔在他的论文一开始就说:“众所周知,怀特海和罗素通过最初把某些显然的命题作为公理,根据某些用一种纯粹形式的方式精确陈述的推理规则导出逻辑和数学的定理,从而构造出逻辑和数学。当然,在这样的程序实施后,立刻就会提出原来设定的公理系统和推理规则是否完全的问题。即系统是否能充分地推导出所有真的逻辑一数学命题。”可见,哥德尔建立完备性定理确实也是逻辑科学高度形式化的产物。

  数学的形式化包括代数、几何和数学分析的形式化。从解方程到抽象代数,从欧几里得直观的公理几何学到希尔伯特的形式公理几何学,从感性直观的无限小到形式的无限小,就分别是代数、几何、分析形式化的历程。

  早在公元前三世纪,希腊数学家欧几里得已用公理方法撰写了十三卷《几何原本》,由于对书中第五公设的探讨研究,导致十九世纪非欧几里得几何学的诞生。尽管欧氏《几何原本》在历史上堪称公理方法的楷模,但用现代的眼光来看,存在问题还是不少的。例如,作为逻辑推理基础的基本命题过于贫乏,在证明中常要借用图形的直观,如移动、通过等。总之,欧几里得逻辑的说服力,在许多情形下要由我们的空间观念的习惯所保证,直到十九世纪末,在几何发展的推动下,由希尔伯特于1899年发表的《几何基础》才完成几何学公理化、形式化的严格陈述。希尔伯特重新定义了几何元素,确定了五组20个公理,它们分别是8条关联公理,4条顺序公理,5条合同公理,2条连续公理和1条平行公理。《几何基础》用准确的语言,严格地叙述了欧几里得几何学的内容,克服了欧氏几何在逻辑上的欠缺。

  古代尽管已有解决某种类型的数学问题的法则,不过“代数”这个词最早是由九世纪的阿拉伯学者穆罕默得·阿里,花刺子模,作为他的重要著作的书名提出的,书中已有第一个解一次及二次方程的一般性法则。字母表示法的引进通常和维耶特的名字相联。这时实际上把代数看成是关于字母的计算,关于由字母构成的公式的变换以及解代数方程的学问。十九世纪中叶才形成方程理论,尽管当时发现了大量方法,使得它不仅能够处理实数和复数问题,而且还能处理向量、四元数、矩阵、二次型、超复数、变换等组成的集合,但是它们只是被作为一种具体的系统加以对待的。只是到了十九世纪末,代数学家才认识到,对许多不相联系自具体系统抽出它们的共同结构来进行综合研究,这时才达到公理化、形式化的抽象代数阶要。拿抽象代数的基本研究对象群来说,它从一个方面极为概括地研究了整数、有理数、实数、超复数、二次型、置换、变换等的某方面属性。到1906年亨丁顿给出了群以及其它代数系统环、域等的公理化、形式化定义。至30年代,范德瓦尔登的《近世代数》问世,才完成了代数领域公理化、形式化的工作。

  数学分析就是无限小分析。人类探索有限、无限以及它们之间的关系由来已久。古希腊德漠克利特、欧几里得、阿基米德曾对无限提出过不同的看法,德漠克利特是原子论者,把这种思想引入几何学,最早求出锥体和圆锥体体积。求圆锥的体积要涉及无限小概念,尽管没有确实说明,但直观的固定无限小量观念已经顽强地粘附在数学上了。每当逻辑显然无济于事的时候,直观就常常会求助于它,欧氏《原本》被人认为是完美无缺的。书中主要体现了攸多克索的穷竭法思想,原本曾这样表达:已知两个不等量,“如从较大的量减去大于其一半的量,再从余下的量中减去大于其一半的量,这样一直继续下去,总可使某一余下的量小于已知的较小的量。”这个定义使希腊几何学的一切论证都排除了无限小量。,阿基米德兼有两种特色,他把欧几里得一丝不苟的推演,跟德漠克利特带有朴素直观的想象谐和在一起。阿基米德在《论抛物线的面积》中,用无限小方法去求得结果,用穷竭法加以论证。他的做法“使得往后由开普勒、卡瓦列里、费尔马、莱布尼茨和牛顿等人相继孕育的无限的微积分日趋完备”。看来十七世纪牛顿和莱布尼茨的微积分是沿袭德漠克利特的原子论思想的。由于对无限小量未作出正确的说明,微积分理论遭到了主教贝克莱的攻击,被称之为“逝去了的量的鬼魂”。当时很难对贝克莱的逻辑作出恰当的回答。直到十九世纪,经过柯西,魏尔斯特拉斯的精深研究,终于使数学分析回到了欧几里得式的严格,他们通过有限量,成功地给出了无限小量形式化的定义,为近代分析奠定了基础。

  逻辑本质上是与规范的思维相关联的,逻辑的一般化已经使自身成为与数学几乎相同的纯粹形式科学—一门能够在形式符号系统中加以表述的关于思维规则的科学。如同几何学起源于实际的土地测量,后来才成为一门纯粹的形式数学一样,逻辑学起源于对思想的分析与评判,后来才发展成为一门纯粹的关于规则的形式科学。

  三

  形式化不仅是现代逻辑形成过程中的一条主线,而且也是现代逻辑取得带有根本性意义的重大成果的前提。本世纪三十年代,现代逻辑相继取得三个划时代的巨大成就:哥德尔不完全性定理,塔尔斯基的形式语言的真理论,图灵机和判定理论。三大成果也是逻辑科学向形式科学长期演化,高度发展的产物。

  1931年出生于现在捷克斯洛伐克境内的逻辑学家哥德尔(K " Godel),在《PM及有关系统中的形式不可判定命题》论文中证明了不完全性定理。定理说:在包含初等数论的一致的形式系统中,存在着一个不可判定命题,命题本身和它的否定命题都不是这个系统的定理。有时还可以补上一句话:不可判定命题是真的。简言之:包含数论的一致的形式系统是不完全的,这种表述通常称为哥德尔第一定理。该定理有一系理说:一个包含数论的形式系统的一致性,在系统内部是不可证明的。通常称为哥德尔第二定理。有时也称哥德尔定理。

  罗素和怀特海在《数学原理》中建立的逻辑演算,已经基本上是一种形式系统,在这种演算系统中,符号按某些规则操作,不顾及符号的解释;简单地一个接一个写下记号就有了合式公式(要满足一些条件),跟着也就有了证明,它是满足某些条件的合式公式序列。把这些公式、证明作为研究对象,希尔伯特构成了证明论或元理论。他希望通过元理论的研究,使用这些方法去获得形式系统无矛盾性的证明。

  一致性即无矛盾性问题一直是非欧几何问世以来数学家所关心的问题,作为正确的演绎,总应该从真命题推演出真命题,作为定理,人们总希望它是真的。但是,由于两个矛盾命题总有一个是假的,因此如果一命题和它的否定命题都被选作公理的话,显然公理可以不必真,当然由此推演出的定理也可以不必真,这样一样,不能保证演绎不会导致矛盾。可见要证明一个形式系统的无矛盾是至关重要的,希尔伯特和他的学生花了巨大的心血,致力于这一事业。哥德尔的文章大概就在这时发表了,文章明确宣告了“在刚才提及的两个系统中,存在着相当简单的,根据公理却是不可判定的问题”,要证明这类系统的无矛盾是不可能的。哥德尔在定理的证明中,引进了几个重要的新的基本概念,其中有的是他人刚提出的新概念,哥德尔在证明中加以修正、澄清、精确化;有的是哥德尔本人创造的,如可表达性,哥德尔码数,递归函数等。这些概念,后来有的构成了新的逻辑、数学分支,有的成了新的重要方法的基础。

  哥德尔定理的证明十分精细而又繁重。为了证明一个重要的关系的递归性,他在原稿中详细证明了45个函数或关系的递归性,这几乎构成了一门新学科递归函数论的基础部分。定理的证明在形式和直觉之间作了几次转换,把命题的真假转换为公式的可证与否;把直觉的用普通语言表达的命题转换为完全形式的表达;把形式的表达转换为数字的算术表达等。这样才避免了悖论,通过对普通语言的表达,形式语言的表达,算术的表达作溶成一体的综合分析、论证才得出了他的结果。哥德尔定理可以用新、重、难三字加以概括。新:指的是观念新、思想新、方法新,整个定理的涵义是崭新的,证明中使用了许多全新的方法。重:指的是篇幅冗长,步骤繁多,如果将定理完整写出,需要几百页纸张的篇幅。难:指的是证明中转换、曲折较多,既要考虑单个概念的纵向脉络,又要考察多种观念的横向联系。通过对直觉的模型、形式系统和数字可表达等多种联系的把握,溶多种原料以一炉,经过把握火候的冶炼,才能获得纯钢。哥德尔非凡的数学才能,特别是数学直觉能力,这种对数学真理的直接洞察能力和对形式推演的非凡驾驭,使他攀登上科学的顶峰。

  哥德尔用精确的形式化的数学方法,论证了形式系统的不完全性。这恰好表明尽管公理化、形式化在数学、自然科学、逻辑学的发展中取得了巨大的成就,但它还是有局限,对形式化作绝对的片面的强调,有可能引向认识的歧途。这是哥德尔定理的意义所在。

  哥德尔的定理对数学、逻辑学、人工智能、哲学诸领域产生了广泛的影响。在证明不可判定命题的构造时,尚带有过多人工雕凿的痕迹,但最近在组合数学中得到的帕里斯一哈林顿定理,使哥德尔定理越出了数理逻辑范围,被人称之为哥德尔定理在数学中的苏醒。

  塔尔斯基在1933年发表的《形式语言中的真概念》论文中,叙述并且证明了一个重要结果,在满足一定条件的形式语言中,可以无矛盾地建立起形式上正确的、实质上充分的像真句子那样的语义学概念。当然对象语言的语义学概念必须在元语言中加以表述。这为逻辑语义学的建立奠定了基础。所谓逻辑语义学乃指语言表达式和它的意义之间关系的理论。

  塔尔斯基说:本文几乎全部是献给一个问题——真的定义的。这个间题属于经典的哲学问题,尽管在普通语言中,“真句子”这个词的意义似乎十分清楚、易懂,但是迄今企图对它作比较精确的定义的一切努力收效甚微,许多用到这个词的研究,常常导致悖论和谬误。句子的真假,涉及对真理的认识,尽管不是全部,却确实是重要的方面。

  文章除引言外,还有7节。在第1节以普通语言作研究对象,得到了否定性的结果:在普通语言中,不可能给出真句子的定义,并且甚至连这个概念和逻辑规律的一致使用也是不可能的。在进一步讨论中,塔尔斯基专注地考察了今天已为人所知的科学地构造的语言,即演绎科学的形式语言。从所要讨论的问题角度看,他将形式语言分为两类,一类称为有限阶语言,它“较为贫乏”,另一类称为无限阶语言,它“较为丰富”。在较为贫乏的语言中,真句子定义问题,可获肯定性的答案:对每一种这类语言,存在一种一贯的构造真句子定义的方法。在第2, 3节中,他对此类语言之一—类语言实现了这种构造。第4节对类语言取得的成果,作了推广。在第5节讨论了较丰富的语言,得出否定性的回答。后2节对此作了总结,全文约10万字,叙述是十分详尽的。

  塔尔斯基的结论:对于每一种形式语言,只需借助一般的逻辑表达式、语言表达式和语言词法方面的词项,在元语言中可以构造出形式上正确的,实质上充分的真句子定义,不过要有一个条件,元语言具有比所研究的对象语言更高的阶。如果元语言的阶相同于所研究的对象语言的阶,那么就不可构造这样的定义。

  这里语言的阶可以简单地把它理解成刻划语言丰富程度的标记。塔尔斯基的成果是重要的,只有在他证明了人们可能把真这个概念,无矛盾地引入一个演绎理论时,严格意义之下的逻辑语义学才真正开始了。有些在日常工作中不习惯使用严格的演绎方法的哲学家,他们总要挑剔,强调人工形式语言比日常语言不足的一面,从而轻视塔尔斯基所作的形式的研究。这一点塔尔斯基本人就曾估计到,他在文章中曾回答过这种想法,表示很难同意这种想法,他把日常语言作形式化处理的思想,即“规定语言的结构,克服其中出现的词语的歧义性,最后把语言分解成一系列逐步扩充的语言”,通过严格结构的形式语言来逐渐逼近普通语言,这种做法是可贵的,事实上他取得了重大的结果。

  图灵在1937年于普林斯顿发表的《论可计算数及其在判定问题上的应用》,是现代逻辑领域中最重要的论文之一,在这篇论文中,图灵分析了计算一个数的过程,得出了图灵机概念,并且还证明了希尔伯特提出的判定问题的不可解性。

  图灵机并非实际上正在工作着的计算机,而是一种理想的通用计算机,图灵机是一用数学方法精确定义的,能反映计算程序的抽象系统,它显示出机器的功能,并且沿用理想图灵机的程序可以实际建造计算机。图灵如此描述他的机器的目的是想把机器归结为它的最简洁的本质:用简单的方法去描述显然是能行的最基本的程序,而其它能行程序都可归结为它。

  一台图灵机可以看成是一台黑箱,和一条被分割成相等方格的纸带通过它,纸带上或者印有或者不印有符号。可以想象,对一个特殊的计算来说,机器将从纸带上在有限个方格内印有符号的输入信息开始,根据某些规则操作纸带,最终可能停机,也可能不停。如果停机,那么留在纸带上的符号就是输出,如不停机就没有输出。

  图灵机是这样操作的。当机器在给定时刻,以某种内部状态正在读纸带上某一方格上的符号时,可以有三类操作:擦去原来的纸带符号印上新的符号(可以印上表示空白的符号);左移一格;右移一格。在运转中的机器的每一步都采用其中之一,为此我们知道,可以用四元组(内态,纸带符号,机器的操作,新内态)的序列去确定图灵机的运转。有了内态和纸带符号,就可据四元组序列之一知道机器的操作,以及机器所取新内态。由新内态和正在读的纸带符号,据序列确定下一步操作及采取新内态。可见,当且仅当四元组序列确定了,图灵机也确定了。所以图灵机是一抽象系统。看上去图灵机不很复杂,但是它的计算能力却非常之大,这由图灵命题保证。图灵命题是说:图灵可计算函数类相同于算法可计算函数类。所谓算法是表示计算程序的一个明晰能行的指令集,可以对给定的一类问题中任何一个给出一答案。凡有算法能计算出它的值的函数称为算法可计算函数。所谓一数论函数是图灵可计算的,如果存在一个能计算出它的值的图灵机,可以证明图灵可计算函数类就是递归函数类。图灵可计算函数是精确概念,算法可计算函数是一直觉概念,图灵命题实际上是在直觉的概念和精确的形式的刻划方式之间建立起来的一种联系,尽管它的成立谈不上什么证明。

  但是由于至今凡算法可计算函数都可用图灵机算出,没有反例;凡对算法可计算函数作出的精确化规定,都被证明与图灵可计算一致,由图灵命题为前提推得的结论,如“某些问题不可解”,与人们的预期相符。所以人们接受了图灵命题。因图灵命题断言凡算法可计算函数都是图灵可计算的,可见图灵机的计算能力是最大的。

  所谓判定问题,按通常的说法就是去判定一个事物是否具有某种性质。这种说法直观,但需精确化。一个判定有如下的一般形式:给定一集合A和一性质P,去寻找一个算法,它能告知对于集合A中的任何元素a,是否具有性质P;或者能证明不可能找到这样的算法。利用图灵机可以证明希尔伯特的判定问题,即一阶谓词演算的判定问题是递归不可解的。

  哥德尔定理涉及命题的形式可证性,可证性是对象语言中公式与公式之间的关系,主要是关于语法理论的,因此似乎可以说定理是关于形式语言语法理论形式化研究的关键成呆。塔尔斯基的形式语言真理论,涉及到对象语言符号的意义,可以说它是语义的形式化研究重要成果。图灵机是用数学方法精确定义的指令集,是抽象系统。但是据此能造出真正的物质的计算机,可见图灵机概念是在形式的抽象系统和物质的计算机之间架起了一座桥梁。

  偶而使用一些符号去表达词项、命题,在古代逻辑中已有所反映,这是形式化的开端。在一些关键场合使用符号,能极大地促进学科发展,取得一些重要结果,这在布尔的逻辑代数,德摩根的关系逻辑中可以见到。人们有时往往认为,引进符号不只是为了方便,它还有更深刻的意义:“符号是深入到观察背后的自然实在里去的方法的一个必不可少的部分”,具有创造的作用。形式化方法用于公理系统产生了形式系统,使符号的表达、创造作用得到更大的发挥,形式系统是形式化的高级产.ra可见对形式系统作出深刻论断的现代逻辑三大成果,确实是形式化高度发展的结果。



  当今,现代逻辑处于蓬勃发展时期。它以哥德尔不完全性定理为起点,几十年来,现代逻辑学的触须己伸向四面八方,与数学、计算机科学、自然科学、哲学、语言学、经济学、社会科学及其它互相渗透,产生了许多综合成果、确立了不少边缘分支,形成门类纷繁的新体系。从两个演算到四论(公理集合论、证明论、模型论、递归论);从标准的到非标准逻辑(模态逻辑、多值逻辑、非标准蕴涵、非标准量词系统等);从对象逻辑到元逻辑(逻辑语形学、逻辑语义学、逻辑语用学);从数学的(四论)、物理学的应用(量子论逻辑、控制论逻辑、信息逻辑)到语言学、哲学的应用(行为、道义、选择、存在、时态、本体、信念、问题、相干逻辑等)。还有现代归纳逻辑等等。下面就四个方面介绍它的发展趋势:

  第一,关于数学方面的发展:十七世纪莱布尼茨最早提出把逻辑处理成演算,尽管他没有能实现他的愿望,人们还是说他是现代逻辑的奠基人。十九世纪四十年代,布尔创建了逻辑代数。稍后,弗雷格发展命题演算,引进量词并几乎完备地发展了谓词演算。本世纪初罗素和怀特海撰写了《数学原理》,所有这些,可以使我们得出这样的结论:十九世纪以来,现代逻揖发展的主流,十分确定地是沿着数学及其应用方向前进的。

  到了本世纪三十年代,现代逻辑相继取得哥德尔不完全性定理等三大成呆。加之为克服世纪初出现的悖论,由罗素提出的类型论,由策麦罗、弗兰克尔提出的公理集合论等重要的

  现代逻辑成果,都浓郁的散发着数学气息。特别是近年来,由于电子计算机的勃起,包括算法理论、递归函数、λ—一换位演算、可计算性和一般能行过程在内的逻辑学的“算术部分”,被看成是高于其它部分的发展中的主流,迅猛地推动着现代逻辑的发展。此外在逻辑的数学方面具有极为重要意义的成果也层出不穷,P.J·柯亨关于连续统假设独立性的著名的证明就是一个确证。可见,直到最近,数学事实上仍然处于逻辑舞台的中心。

  不过,这个长期存在着的数学潮流,近年来由于获得了一系列逻辑科学的新成果的渗透,己遇到阻隔。这些可能预示着逻辑学在哲学方面考察的热流已喷薄欲出。早期有过一些这方面的迹象,但不明显,然而近一、二十年来可以看到逻辑学的各种非标准的理论分支正在兴旺地、加速地增长着,这似乎预示着逻辑学和数学在分裂。美国逻辑学家雷切尔断言:我确信,尽管目前还不能说,不过在一个较长时期内必将会明显地看到这个逻辑学科的分裂”,“这种进展是不可避免的。”苏联有的逻辑学家甚至认为,苏联形式逻辑在五十年代中期复兴以后,迅速走上现代阶段,‘一个重要原因是抓住了传统逻辑、现代逻辑和数理逻辑的关系问题,尤其是把现代形式逻辑和数理逻辑区分开。”

  第二,关于哲学方面的发展:刚才已经提到过,现代逻辑学的发展中,一个具有重要意义的新趋向正在崛起。逻辑学关于哲学方面的力作正在不断出现。国际逻辑学、方法论和科学哲学会议设有专门的哲学逻辑组,有相当声誉的国际性期刊《哲学逻辑杂志》已出了十三卷。对此持慎重态度的苏联逻辑学界,也在公开使用哲学逻辑的名称。看来前景是清楚的,无可置疑这个趋势今后将继续下去,并且将不断得到净化和发展。

  哲学逻辑的兴起,首先意味着它提供了一个宝贵的创造机会。对哲学中的基本范畴,诸如存在,认识,本体,真理等,使用逻辑工具作仔细、精确的分析,无疑是有重要意义的。在西方,在认识论、本体论范围内开始的,这种形式的处理,最近已伸展到伦理和规范的领域,如义务逻辑、行为逻辑的出现。哲学将成为令人羡慕的精确科学的前景有巨大的吸引力,西方有人甚至认为:“现在人们不得不承认,摆脱了衰退的这种潮流,也许可以看成是逻辑实证主义在促进11普及逻辑技巧应用于哲学方面的一个重大的永久性的遗产”。

  确实有一系列与此有关的逻辑分支应运而生,相关逻辑、模态逻辑、算法逻辑、时态逻辑、或然逻辑、评价逻辑、超直觉主义逻辑的纷纷出现,就是一个标志,还有许多有意义的问题的研究在开展,并且取得相当重要的成果。如对逻辑科学的成果和逻辑方法在哲学和科学方法论中适用性,确定其适用界限问题;逻辑的哲学基础,逻辑系统与其中反映的现实之间的联系间题;可能世界语义学的哲学意义间题,逻辑的哲学基础中的心理主义和反心理主义;与有内容地解释逻辑中的核心概念证明有关的问题等等。苏联逻辑界取得了一些成果。如斯米尔诺娃对知识在各种层次上的变化分析就尝试回答逻辑与现实的关系。她认为知识可分个别原理、理论、概念模式三层次。因为概念模式制约着接受还是拒绝特定的判断形式,所以知识在第三层次的变化同逻辑的联系最为密切。沃伊什维拉构造的一般状态摹状语义学对语义学研究做了推进。这种语义学同经典语义学的主要区别在于:不要求状态摹状的不矛盾性和不完全性。因此,经典状态摹状集成了一般状态摹状集的真子集。这样,在一般状态摹状的语义学中,经典命题逻辑的重言式并不必定成立。

  当然也要注意一种潜在的暗流。对哲学的种种领域,作成功地逻辑分析的可能性存在,可能吸引人们把对具有本质意义的重要问题的注意,转向安逸地寻求某些支微末节的小间题。研究人员可能把对某些尚未流理清楚的哲学领域艰苦卓绝的探索,转移为对某些本质上是平凡的问题去展现和使用精湛的逻辑分析技巧。

  第三,关于语言学方面的发展:现代逻辑形成发展中另一值得注意的趋向,是对自然语言逻辑方面兴趣的增长。特别是在自然语言中,而非在数学里使用的形式系统中进行的推理有效性的研究。不少人认为逻辑语法学、语义学、语用学属此范围。语形学研究语言表达式之间的关系,不涉及表达式与其意义之间的关系;语义学研究语言表达式与其意义之间的关系,语用学研究表达式与它所指的对象、使用者、使用时的语境之间的关系。

  两个演算研究形式的推理理论,研究的就是符号表达式之间的关系,属于语法学范围,发展已经成熟。现代语言学的语法研究也是建立在逻辑研究基础上的,这方面的成果也很大,目前欧美语法理论不下十余种,这些新出现的语法理论,一般是在新的逻辑理论和逻辑方法的基础上产生的。

  说到语义学,对意义作何种理解十分重要。有些作者把意义只理解成表达式所指称的对象,即外延;另外一些却认为意义还可有第二层含义,相当于弗雷格涵义,即所谓的内涵。有些作者甚至把表达式与其第二层含义的意义之间关系的形式处理的理论称为语用学。语义学起源于古希腊斯多葛学派,只是到了十九世纪,弗雷格对此作出了不可磨灭的贡献。真正的现代逻辑语义学应该从1933年塔尔斯基发表《形式语言的真概念》一文算起。进一步的发展由维特根斯坦最早提出了想法,由卡尔纳普在《意义和必然性》(1947)一书中展开成系

  统。书中的外延和内涵分析方法,开创了语义学研究的新路子,尽管并不完备,却取得一批有效的成果。后来卡普兰、克里普克、蒙太古作了进一步贡献。蒙太古长期致力于把元数学应用于自然语言的语形、语义和语用研究,发展起一种以他名字命名的范畴语法。其要点是:一语言表达式的语形是表达式成分语形的函项,一语言表达式的语义(包括外延、内涵)是表达式成分语义的函项,并且达到语形和语义同构。这样建立起的语法,不仅既虑察了语形也考察了语义,而且还既考虑到外延也考虑到内涵。结果相当一般化,但是总体上又简洁和谐,堪称自然语言逻辑研究方面的优异成果。苏联有类似的研究。布留申金认为:斯米尔诺娃正在建立一种新奇的对自然语言的逻辑分析纲领。“她成功地构造了对分析自然语言的语境来说是足够的一阶内涵逻辑系统。”

  第四,关于纯逻辑方面的发展:近年来现代逻辑在纯逻辑方面的发展主要表现在两方面:一是力图使逻辑的形式系统,逐渐接近于日常的推理,以期达到简化推理技术,和直观的要求。另一方面是采用古典的演算方法去处理新问题,发展非标准逻辑系统,一大批逻辑演算分支应运而生,简化推理技术不仅在科学技术方面有大量的实际需要,而且在认识和教学方面的意义也很重大。在这方面自然推理系统受到了重视。构造非标准逻辑的关注,从大量涌现的逻辑新分支中可见一斑。当然也要防止粗制滥造逻辑系统及其语义解释。

  其他逻辑学的基础问题,如关于矛盾系统,关于三段论间题也开展了研究。一般来说,无矛盾系统是推理性能优良的系统,它当然受到逻辑学家的青睬。其实,科学实践证明:矛盾的理论往往并不为科学家全部抛弃,人们熟悉的康托集合论是有矛盾的,但是至今,它仍然还是许多数学研究的基础。近来的形式逻辑研究,产生了半不矛盾系统,推不出矛盾的矛盾系统。如在非标准数学分析中,只是在天文数字的推演步骤后才能推出矛盾,这就为考察实际上推不出矛盾的矛盾系统成为可能。三段论研究起源于亚里士多德,似乎应属于历史领域,符号逻辑的发展,给三段论以反作用,这样就提出了三段论和谓词演算的关系问题,与模态逻辑的关系等问题。同时还提出了对它作不依赖于存在假设的逻辑分析,提出了空词项、否定词项和普通词项的三段论是否可能的问题。自然也会提出性质判断A, E, 1, O,如何翻译成谓词演算中的公式的问题。此外三段论研究也包括逻辑方阵的现代研究等问题。总之,不少传统逻辑中的基本间题的研究,在现代逻辑研究中也占有相当的位置。
  
  数理逻辑的发展

  数理逻辑又称符号逻辑,是用数学方法研究思维形式的逻辑结构及其规律的学科。所谓数学方法,是指用一套表意符号(即形式语言系统)表达思维的形式结构和规律,从而把对思维的研究转化为对符号的研究。以便摆脱自然语言的歧义性,构成能像算术或代数那样的严格精确的演算系统。从逻辑角度看,数理逻辑也是研究演绎的科学,演绎方法包括演绎推理,以演绎推理为基础的证明和公理方法。从根本上讲它是传统逻辑的发展,是现代的精确的形式逻辑。

  数理逻辑的发展大体可分三个阶段。第一阶段:由十七世纪七十年代到十九世纪八十年代,是开始用数学方法研究和处理形式逻辑的时期,逻辑代数和关系逻辑是这一时期取得的重大成果,莱布尼兹、布尔是创始者。第二阶段:由十九世纪八十年代到本世纪三十年代。此时期把初等数论和集合论等方法运用到逻辑上,使数理逻辑取得较大的突破,完成了命题演算和谓词演算两个系统,弗雷格最早建立了两个系统,罗素和怀特海的《数学原理》使之完美,哥德尔完备性定理是这一时期完成的标志。第三阶段:由二十世纪三十年代至今。是数理逻辑的篷勃发展时期。它以哥德尔不完全定理为开始,取得了多方面的成就,形成新体系:证明论、递归论、公理集合论和模型论。近年来两个演算还被用于处理非古典逻辑,出现了构造性逻辑、多值逻辑、模态逻辑、道义逻辑、时态逻辑、知道逻辑、逻辑语义学、内涵逻辑等新分支。哥德尔不完全性定理、塔斯基的形式语言的真理论、图灵的理想机和判定理论成了这一时期的三个杰出成就。

  数理逻辑是一门边缘性学科,,它不仅和数学、计算机科学等交织共生,并且和哲学、语言学、经济学、心理学、法学、史学和文学等的联系及影响也在日益增长。数理逻辑和数学联系,不仅表现在方法论上,而且也反映在和数学的分支的联系共生上;它和计算机科学的联系也是明显的,不仅表现在硬件方面,而且也表现在软件方面,随着人们对软件研究的重视,数理逻辑在计算机设计中的作用将被人更为重视。

  数理逻辑和哲学、社会科学的联系也是十分密切的。在哲学方面:由于演绎方法是人们认识世界的重要工具,因而了解演绎方法的发展、局限,对搞哲学的人来说极为重要,无论搞认识论,或搞辩证法,或搞辩证逻辑都是如此。当今哲学在其发展过程中,进一步加强了与数学和自然科学的联系,数理逻辑的发展反映了这种趋势。如数学哲学中的许多基本问题:数学研究的对象、本质、方法、基本概念无限、集合等,对它们作出马克思主义的解答,需要研究起纽带作用的数理逻辑。过去,由于革命的需要,哲学要用于解决政治斗争方面的问题,无暇顾及与自然科学的联系,然而今后在这方面多加关注也是应该的。目前,西方不少哲学流派,是用数理逻辑中工具来阐述他们的观点的,尽管有不少基本观点是错误的,但确实也有可供马克思主义借鉴之处或加以提炼的方面。但是如果不懂一点数理逻辑基本知识,就很难谈得上对这些流派作分析研究,恐怕连开卷也难。

  在语言学方面,现代语言学的语法研究是建立在逻辑基础上的,目前欧美新的语法理论已不下十五种,这些新出现的理论一般是在新的逻辑理论和方法的基础上产生的。几乎每出现一种新的逻辑理论和方法,就会出现一种新的语法理论。现代语言的语义学的形式化分析问题,是一个极为复杂而又有十分重要的应用价值的问题,它需要逻辑语义学作为工具,它为计算机识别自然语吉提供了可能。塔斯基创立的现代逻辑语义学,为判别形式语言中命题的真建立了一般理论,不过它是在外延意义下展开的。由卡尔纳普开始系统建立的,卡普兰、蒙太古、克里普克加以发展的语义学,考虑到了内涵方面。如受到西方重视的崭新的蒙太古语法,对语形(语法范畴),语义(外延类型,内涵类型)作了综合考察,使之在语言表达式的成份和整体方面,共同满足弗雷格原因,结构方面符合同构原则。这种高度的一般化的处理,所化的代价是在局部处理上的极为复杂化的精细化,美国逻辑学家J·马塞把它和爱因斯坦的广义相对论媲美,他认为爱因斯坦使用作为局部的复杂的非欧几何学加上物理学,得到了简洁和谐的广义相对论;与蒙太古利用作为局部的复杂的高价内涵类型的逻辑处理加上语言学,得到最为一般的简洁的语法理论是类似的。

  现代经济理论中,使用数理逻辑方法,以公认的原理为基础,建立和发展消费行为的规律的公理系统是更为基本的;早在十七世纪,斯宾诺莎已用公理方法处理了伦理学,七十年代挪威哲学家奈斯对它作了更新,使之现代化;此外在心理学、史学、文学方面,数理逻辑的影响确实在不断增长。
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