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弱混沌

2012-05-10
混沌,冯-诺伊曼
弱混沌

如果冯-诺伊曼在阿姆斯特丹演讲时对混沌略有了解,那么他可能提出的未解决问题之一应该是弱混沌。50多年后的今天,弱混沌依然是尚未解决的问题。这个问题是要明白为什么混沌运动常常受到边界约束,不会引发任何猛烈的动荡。弱混沌的一个好例子是太阳系中行星和卫星的轨道运动。科学家们最近发现,这些运动是弱混沌。这是一个令人震惊的发现,颠覆了太阳系作为有序稳定运动最好例证的传统概念。200年前,法国天文学家、数学家拉普拉斯(Laplace)认为,他已经证明了太阳系是稳定的。现在看来拉普拉斯错了。轨道的精确数值积分清楚地显示,相邻轨道呈现指数级偏离。在经典力学的世界里,弱混沌似乎无处不在。

在长期积分(long-term integration)做出来之前,人们从未想象过太阳系中的混沌行为,因为这种混沌是弱的。弱混沌意味着相邻轨道呈指数级离散,却不会离散得太远。这种离散开始时以指数级速度增长,但随后就维持在边界处。因为行星运动的离散是弱的,所以太阳系能在40亿多年的时光里得以生存。尽管这种运动是混沌的,但行星从来不会在远离它们所熟悉的地区漫游,因此,太阳系作为一个整体从来不曾分崩离析。尽管混沌无处不在,但拉普拉斯将太阳系当作像时钟运动一样完美的观点离事实并不遥远。

在气象学领域,我们看到了相同的弱混沌现象。尽管新泽西的天气糟糕地混沌,但这种混沌严格有限。夏天和冬天有着不可预测的温和或严厉,我们却能可靠地预测:气温绝对不会升至45摄氏度或低到零下30摄氏度,这是经常出现在印度和明尼苏达的极端情况。物理学中没有守恒定律禁止新泽西的气温不可以升至印度一样的温度,或禁止新泽西的气温不能降低到明尼苏达的气温。混沌的弱点成为这个星球上生命长期生存的关键。弱混沌在赋予我们各种挑战性天气的能力的同时,也保护我们不致遭受危及我们生存的剧烈温差波动。我们还不能理解混沌保持这种仁慈之弱的原因。这是今天在座的年轻青蛙们可以带回家的另一个未解决问题。我挑战你们弄明白这个问题:为什么在各种动力系统中观察到的混沌均是普遍微弱。

混沌的特征已被众多的数据和无止境的美丽图片所勾勒,但却缺少严格理论。严谨理论赋予一个课题以智力的深度和精确。在你能证明一个严格理论之前,你不可能全面理解你所关注的概念的意义。在混沌领域,我知道只有一个严格理论在1975年被李天岩(Tien-Yien Li)和吉姆? 约克(Jim Yorke)所证明,这篇短论文的题目是:《周期三蕴含混沌》(Period Three Implies Chaos)。李-约克论文是数学文献中不朽的珍宝。他们的理论将非线性地图的区间扩展至它本身。当被当作是一个经典粒子的轨道时,点位置的连续性就能重复。如果一个点在N次映像之后又回到它原始的位置,那么这个轨道就有N个周期。由此而论,如果一个轨道从所有的周期轨道中离散,那么这个轨道就被定义为混沌。这个理论表明,如果单个轨道拥有三个存在周期,那么混沌轨道就是存在的。这个证明简洁、短小。在我的印象里,这个理论和它的证明投向混沌基本特征的光芒胜过几千张美丽图片。它解释了混沌为什么在这个世界里普遍存在,但没有解释混沌为什么总是这样弱,这是留给未来的一个任务。我相信,在证明有关弱混沌的严谨定理之前,我们是不会从根本上理解弱混沌。
英文原文在http://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf ,from Aries
2. 本文翻译者不知道是哪位大侠,我摘自emuch的数学版
选自《著名数学家弗里曼·戴森的演讲:鸟和青蛙》

著名数学家弗里曼·戴森的演讲:鸟和青蛙
图灵-数学家
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